मैट्रिक्स गणित का परिचय

इस अध्याय में, हम मैट्रिक्स पर करीब से नज़र डालने जा रहे हैं। अब, यह स्वभाव से एक गणितीय अवधारणा है। और अगले अध्याय में, आप देखेंगे कि यह वित्त के साथ कैसे संबंध रखता है। अभी के लिए, निवेश और वित्त को दरवाजे पर छोड़ना और अपनी गणित की सोच की टोपी लगाना सबसे अच्छा है। इसके साथ, आइए मैट्रिसेस के साथ आरंभ करें।

एक मैट्रिक्स क्या है?

एक मैट्रिक्स संख्याओं या अभिव्यक्तियों का एक आयताकार सरणी है। इन संख्याओं या व्यंजकों को पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित किया जाता है। और वे बॉक्सिंग/स्क्वायर ब्रैकेट्स के भीतर समाहित हैं। यहाँ मैट्रिक्स के बारे में अन्य प्रमुख विवरण दिए गए हैं।

• मैट्रिक्स में संख्या या व्यंजक तत्व कहलाते हैं।
• मैट्रिक्स में क्षैतिज रेखा प्रविष्टियाँ पंक्तियाँ कहलाती हैं।
• लंबवत रेखा प्रविष्टियों को कॉलम कहा जाता है।
• मैट्रिक्स का आकार उसकी पंक्तियों और स्तंभों का उपयोग करके दर्शाया जाता है। इसलिए, p पंक्तियों और q कॉलम वाले मैट्रिक्स को 'pxq मैट्रिक्स' कहा जाता है। इसे 'p बटा q मैट्रिक्स' के रूप में पढ़ा जाता है।

आइए इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए एक मैट्रिक्स पर एक नजर डालते हैं। हम इस मैट्रिक्स को एम कहेंगे।

आप इस मैट्रिक्स से क्या इकट्ठा कर सकते हैं?

• यहाँ 3 पंक्तियाँ और 4 स्तंभ हैं।
• तो, यह एक 3 x 4 मैट्रिक्स है - इसे 3-बाय-4 मैट्रिक्स के रूप में पढ़ा जाता है।
• मैट्रिक्स में तत्व सकारात्मक, नकारात्मक, भिन्न, दशमलव या लगभग कुछ भी हो सकते हैं।

मैट्रिक्स एम में भी इन तत्वों का प्रतिनिधित्व करने का एक और सामान्य तरीका है।

मूल रूप से, पहली संख्या पंक्ति संख्या का प्रतिनिधित्व करती है और दूसरी स्तंभ संख्या का प्रतिनिधित्व करती है।

एक मैट्रिक्सएक मैट्रिक्स

का स्थानांतरणका स्थानान्तरण उसकी पंक्तियों को उसके स्तंभों में और उसके स्तंभों को उसकी पंक्तियों में बदलकर बनता है। इसलिए, यदि आपके पास मूल रूप से 3 x 4 मैट्रिक्स है, तो इसका स्थानान्तरण 4 x 3 मैट्रिक्स होगा। एक मैट्रिक्स M के स्थानान्तरण को Mरूप में दर्शाया गया हैT के। इसी प्रकार, मैट्रिक्स A के स्थानान्तरण को Aरूप में दर्शाया जाता हैT के।

आइए उसी मैट्रिक्स को लें जो हमने पहले देखा था और देखें कि इसका स्थानान्तरण कैसा दिखता है।

यह मूल मैट्रिक्स एम है।
और यह इसका स्थानान्तरण है। (मैट्रिक्स एमटी)

मैट्रिक्स जोड़ और घटाव

अब, यह वह जगह है जहां यह दिलचस्प हो जाता है। आप मैट्रिक्स का उपयोग करके जोड़ और घटाव कर सकते हैं। यहां दो मैट्रिक्स जोड़ने के बुनियादी नियम दिए गए हैं।

• दो मैट्रिक्स एक ही आकार के होने चाहिए। आप अलग-अलग आयामों के साथ दो मैट्रिक्स नहीं जोड़ सकते। तो, आप एक 2 x 2 मैट्रिक्स और दूसरा 2 x 2 मैट्रिक्स जोड़ सकते हैं। हालांकि, आप 2 x 2 मैट्रिक्स और 2 x 3 मैट्रिक्स, या 2 x 2 मैट्रिक्स और 4 x 3 मैट्रिक्स नहीं जोड़ सकते। आपको विचार मिलता है, है ना?
• दूसरे, दो मैट्रिक्स जोड़ते समय, आप एक मैट्रिक्स में अलग-अलग तत्वों को दूसरे मैट्रिक्स में अलग-अलग तत्वों के साथ जोड़ते हैं। इसका मतलब है कि आप पहले मैट्रिक्स के पंक्ति 1, कॉलम 1 में तत्व को दूसरे मैट्रिक्स के पंक्ति 1 में तत्व के साथ जोड़ते हैं। और पंक्ति 1 में तत्व, पहले मैट्रिक्स के कॉलम 2, दूसरे मैट्रिक्स के पंक्ति 1, कॉलम 2 में तत्व के साथ। और इसी तरह।

आइए इस प्रक्रिया को स्पष्ट करने के लिए कुछ 2 x 2 मैट्रिक्स लें।

यह मैट्रिक्स ए है।
यह मैट्रिक्स बी है।

अलग-अलग रंगों वाले बॉक्स देखें? वे नंबर हैं जिन्हें हम जोड़ रहे हैं। तो, ए और बी को जोड़ने से बनने वाले नए मैट्रिक्स को नीचे समझाया जाएगा।

नया मैट्रिक्स है:

घटाव इस तरह काम करता है, सिवाय इसके कि तत्वों को जोड़ने के बजाय एक दूसरे से घटाया जाता है। 

मैट्रिक्स गुणन

मैट्रिक्स गुणन थोड़ा अधिक जटिल है। सबसे पहले, हम अदिश गुणन को देखेंगे, जो मूल रूप से केवल एक आव्यूह को एक पूर्ण संख्या से गुणा करना है। उदाहरण के लिए, मान लें कि आपके पास मैट्रिक्स M नामक एक मैट्रिक्स है। अब, यदि आप इस मैट्रिक्स को 2 से गुणा करना चाहते हैं, तो आप सरणी में प्रत्येक तत्व को 2 से गुणा करेंगे। इसी तरह, मैट्रिक्स को 17 से गुणा करने के लिए, आप बस सरणी में प्रत्येक तत्व को 17 से गुणा करें।

यहां एक उदाहरण दिया गया है।

यह मैट्रिक्स एम है।

12	14
19	54
60	17

इस मैट्रिक्स को 4 से गुणा करने के लिए, आपको सरणी में प्रत्येक तत्व को 4 से गुणा करना होगा। फिर, यह हमें ऑपरेशन मैट्रिक्स एम x 4:लिए उत्पाद के रूप में मिलता है।

48 के	56
76	216
240	68

आप दो आव्यूहों को गुणा भी कर सकते हैं। लेकिन यह तभी संभव है जब पहले मैट्रिक्स में कॉलम की संख्या दूसरे मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो।

• तो, आप aगुणा कर सकते हैं p x q मैट्रिक्स को q x r मैट्रिक्स से। 
• यहां, पहले मैट्रिक्स (में कॉलमq) की संख्या दूसरे मैट्रिक्स (भीमें पंक्तियों की संख्या के बराबर है q)।
• नए मैट्रिक्स का आकार p x r होगा।
• मैट्रिक्स को गुणा करने के लिए, पहले मैट्रिक्स की पंक्तियों में प्रत्येक तत्व को दूसरे मैट्रिक्स के कॉलम में तत्वों से गुणा किया जाता है। फिर इन उत्पादों को नए मैट्रिक्स में तत्वों तक पहुंचने के लिए जोड़ा जाता है।

वह थोड़ा भ्रमित करने वाला था, है ना? चिंता मत करो। हम इसे आसान बनाने के लिए एक उदाहरण देखेंगे। इन दो मैट्रिक्स लें: 

• मैट्रिक्स एक है, जो एक 3 x 2 मैट्रिक्सहै
• मैट्रिक्स बी, जो है एक 2 एक्स 3 मैट्रिक्स

मैट्रिक्स एक	मैट्रिक्स बी
एक1,1 एक1,2 एक2,1 एक2,2 एक3,1 एक3,2	b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3

इस 3 x 2 मैट्रिक्स A को 2 x 3 मैट्रिक्स B से गुणा करने पर हमें एक नया 3 x 3 मैट्रिक्स मिलेगा C. इस प्रकार उस नए मैट्रिक्स के तत्व बनते हैं।

मैट्रिक्स ए एक्स मैट्रिक्स बी = मैट्रिक्स सी

(ए1,1 एक्सबी1,1) + (ए1,2 एक्सबी2,1) (ए1,1 एक्सबी1,2) + (ए1,2 एक्सबी2,2) (ए1,1 एक्सबी1,3) + (ए1,2 एक्सबी2,3) (ए2,1 एक्सबी1,1) + (ए2,2 एक्सबी2,1) (ए2,1 एक्सबी1, 2) + (ए2,2 एक्सबी2,2) (ए2,1 एक्सबी1,3) + (ए2,2 एक्सबी2,3) (ए3,1 एक्सबी1,1) + (ए3,2 xb2,1) (a३,१ xb१,२) + (a३,२ xb२,२) (a३,१ xb१,३) + (३,२ xb२,३)

हम करेंगे अब गुणन को स्पष्ट करने के लिए संख्याओं के साथ ऐसे दो आव्यूह लें।

यहां, हम फिर से 3 x 2 मैट्रिक्स और 2 x 3 मैट्रिक्स लेंगे।

मैट्रिक्स ए	मैट्रिक्स बी
2 3 4 5 6 7	10 20 30 40 50 60

इन दो मैट्रिक्स को गुणा करना, यहां हमें मिलता है:

मैट्रिक्स ए एक्स मैट्रिक्स बी = मैट्रिक्स सी

(2 x 10) + (3 x 40) (2 x 20) + (3 x 50) (2 x 30) + (3 x 60) (4 x 10) + (5 x 40) (4 x 20) + (5 x 50) (4 x 30) + (5 x 60) (6 x 10) + (7 x 40) (6 x 20) + (7 x 50) (6 x 30) + (7 x 60)

तो, मैट्रिक्स C बन जाता है:

140	190	240
240	330	420
340	470	600

रैपिंग अप

मैट्रिक्स के विवरण में जाने का कारण यह है कि जब आप विचरण और पोर्टफोलियो के जोखिम की गणना कर रहे हैं, तो आप अनिवार्य रूप से मैट्रिस के साथ काम कर रहे हैं। आइए पिछले अध्याय की छवि पर एक नज़र डालें, जहां हमने 10 दिनों की अवधि में दो शेयरों - ए और बी - की कीमतों को सूचीबद्ध किया था।

देखें कि 10 x 2 मैट्रिक्स की कीमतें कैसी हैं? इसी तरह, जब आप दो शेयरों के लिए दैनिक रिटर्न की गणना करते हैं, तो एक और मैट्रिक्स बनता है। इसलिए, हम स्वाभाविक रूप से यहां इस प्रकार के सरणियों के साथ काम कर रहे हैं। अब, यह जानने के लिए कि यह सब कैसे होता है, अगले अध्याय पर जाएँ।

एक त्वरित पुनर्कथन

• एक मैट्रिक्स संख्याओं या अभिव्यक्तियों का एक आयताकार सरणी है। इन संख्याओं या व्यंजकों को पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित किया जाता है। 
• मैट्रिक्स का आकार उसकी पंक्तियों और स्तंभों का उपयोग करके दर्शाया जाता है। इसलिए, p पंक्तियों और q कॉलम वाले मैट्रिक्स को 'pxq मैट्रिक्स' कहा जाता है। इसे 'p बटा q मैट्रिक्स' के रूप में पढ़ा जाता है। 
• एक मैट्रिक्स का स्थानान्तरण, जिसे एमरूप में दर्शाया गया हैटी के,इसकी पंक्तियों को इसके स्तंभों में और इसके स्तंभों को अपनी पंक्तियों में बदलकर बनाया गया है। इसलिए, यदि आपके पास मूल रूप से 3 x 4 मैट्रिक्स है, तो इसका स्थानान्तरण 4 x 3 मैट्रिक्स होगा। 
• आप मैट्रिक्स का उपयोग करके जोड़ और घटाव कर सकते हैं। इसके लिए दोनों मेट्रिसेस एक ही साइज के होने चाहिए। आप अलग-अलग आयामों के साथ दो मैट्रिक्स नहीं जोड़ सकते। 
• आप दो मैट्रिक्स को गुणा भी कर सकते हैं। लेकिन यह तभी संभव है जब पहले मैट्रिक्स में कॉलम की संख्या दूसरे मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो।