मूल्य, डेल्टा और गामा के बीच संख्यात्मक संबंध क्या है

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यह तो हम सभी जानते हैं कि एक ही शब्द के कई अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं, ऑप्शन ट्रेडिंग में डेल्टा के साथ भी कुछ ऐसा ही है। डेल्टा को आमतौर पर अंतर्निहित परिसंपत्ति की कीमत में 1 पॉइंट के बदलाव के लिए प्रीमियम में आए बदलाव के रूप में परिभाषित किया गया है।

एक उदाहरण लेते हैं।

अगर एक ऑप्शन व्यापारी ने 0.87 का डेल्टा चुना है, तो अंतर्निहित में 1 पॉइंट के बदलाव के लिए, ऑप्शन प्रीमियम में 87 पैसे की वृद्धि होगी। हालांकि, अगर स्टॉक 2 पॉइंट बढ़ता है, तो आपको क्या लगता है कि प्रीमियम 0.87 के डेल्टा से बढ़ेगा या फिर इससे ज्यादा बढ़ेगा ?

 इसका उत्तर उस ग्रीक घटक में है जिसे गामा के रूप में जाना जाता है।

ब्लैक-स्कोल्स-मर्टन मॉडल

बहुत सालों से, मूल्य निर्धारण के कई तरीकों का विश्लेषण किया गया है और उन्हें परखा गया है। और ऐसा इसलिए है क्योंकि ऑप्शंस का मूल्य निर्धारण करना काफी जटिल प्रक्रिया है। अब तक, उपयोग किए जाने वाले सबसे लोकप्रिय मॉडल में ब्लैक-स्कोल्स-मर्टन मॉडल शामिल है, जो इस सिद्धांत पर आधारित है कि बाजार में आर्बिट्राज नहीं है। यह सिद्धांत यह भी मानता है कि अंतर्निहित परिसंपत्ति की कीमत एक ज्यामितीय ब्राउनियन मोशन द्वारा चिन्हित होती है।

ऑप्शन मूल्य खोजने के लिए, हमें पहले एक्सपायरी पर अंतर्निहित परिसंपत्ति की कीमत का अपेक्षित मूल्य ढूँढना होता हैं। चूंकि कीमत एक रैनडम वेरिएबल है, इसलिए इसका अपेक्षित मूल्य खोजने का एक संभव तरीका सिमुलेशन है। यह मॉडल लगभग किसी भी प्रकार के ऑप्शन के मूल्य निर्धारण के लिए प्रयोग में लिया जा सकता है।

डेल्टा बनाम गामा

पहला ऑप्शन ग्रीक, डेल्टा ऑप्शन मूल्य का एक डेरिवेटिव है और इसलिए इसे फर्स्ट ऑर्डर डेरिवेटिव के रूप में जाना जाता है। गामा, डेल्टा का डेरिवेटिव है, और इसलिए इसे सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव के रूप में जाना जाता है। यह अंतर्निहित मूल्य में प्रत्येक 1 पॉइंट के बदलाव के लिए डेल्टा में परिवर्तन की दर है।

डेल्टा एक ऑप्शन के दिशात्मक जोखिम को मापता है, जबकि, गामा उस दिशात्मक जोखिम में परिवर्तन को मापता है। गामा डेल्टा में उस संभावित मूवमेंट को समझने में मदद करता है जो अंतर्निहित परिसंपत्ति की कीमत में हुए परिवर्तन की वजह से होती है। गामा के मूल्य के आधार पर, एक व्यापारी अपने पोजीशन रिस्क में हुए परिवर्तनों का आकलन कर सकता है। गामा को निम्नलिखित समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

गामा =  डेल्टा की वैल्यू में बदलाव÷ अंतर्निहित परिसंपत्ति की कीमत में बदलाव

इस समीकरण को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है:

डेल्टा में परिवर्तन = गामा * अंतर्निहित परिसंपत्ति की कीमत में परिवर्तन

कृपया ध्यान दें कि यहाँ,

अंतर्निहित मूल्य में परिवर्तन = नई अंतर्निहित कीमत - पुरानी अंतर्निहित कीमत

इस समीकरण से, हम निम्नलिखित समीकरण के साथ डेल्टा के नए मूल्य की गणना भी कर सकते हैं:

नया डेल्टा = पुराना डेल्टा + डेल्टा में परिवर्तन

अब इसे एक उदाहरण से समझते है !

इसे और अच्छे से समझने के लिए, चलिये हम इस उदाहरण को देखते हैं। हम मान लें कि एक शेयर वर्तमान में ₹100 पर ट्रेड कर रहा है और हम एटीएम कॉल ऑप्शन को देख रहे हैं,  जिसमें स्ट्राइक मूल्य ₹100 है। और यह भी मान लें कि वर्तमान में, इस कॉल ऑप्शन का डेल्टा 0.5 है, गामा 0.02 है, और ऑप्शन का मूल्य  ₹6 है।

मान लें कि स्टॉक की कीमत कुछ दिनों में बढ़कर ₹105  तक पहुंच जाती है। इसका उपयोग करके, हम नए ऑप्शन मूल्य की गणना ₹6 (पुराने ऑप्शन मूल्य) + 0.5 (डेल्टा) * ₹ 5 (अंतर्निहित कीमत में परिवर्तन) के रूप में कर सकते हैं। यह ₹8.5 है।

यह देखते हुए कि अंतर्निहित कीमत अब बदल गई है और ऑप्शन आईटीएम में बदल गया है, डेल्टा भी बदल जाएगा। अब, नए डेल्टा की गणना करें !

डेल्टा की गणना 0.5 (पुराना डेल्टा) + 0.02 (गामा) * 5 (अंतर्निहित कीमत में परिवर्तन) के रूप में की जा सकती है। यह 0.6 निकला। तो, अंतर्निहित में 5 अंक की वृद्धि के लिए नया डेल्टा 0.6 है। ध्यान रहे कि ऑप्शन अब आईटीएम हो गया है, और  इसका डेल्टा 0.5 से बढ़ गया है।

दूसरी ओर, क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि अगर स्टॉक की कीमत घटकर ₹95 हो जाती तो क्या होता ? उस स्थिति में, ऑप्शन मूल्य 3.5 तक गिर गया होता। इसके अलावा, अंतर्निहित कीमत में बदलाव से डेल्टा के मूल्य में भी बदलाव आएगा। इस परिवर्तन की गणना 0.02 * (-5) के रूप में की जा सकती है, जो -0.1 है। इसलिए, नया डेल्टा 0.5 + (-0.1) = 0.4 होगा। ध्यान रहे कि ऑप्शन अब ओटीएम हो गया है, तो इसका डेल्टा 0.5 से नीचे गिर गया है।

 

डेल्टा रेशियो

डेल्टा रेशियो को अंतर्निहित परिसंपत्ति में प्रत्येक डॉलर के परिवर्तन के लिए ऑप्शन प्रीमियम में प्रतिशत परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है।

एक उदाहरण लेते हैं:

अगर आपके पास ₹300 के स्ट्राइक मूल्य वाला एबीसी लिमिटेड का कॉल ऑप्शन है, और स्टॉक मूल्य  ₹300 से ₹301 तक बढ़ जाता है, तो यह ऑप्शन प्रीमियम को एक निश्चित राशि तक बढ़ा देगा। मान लें कि यह ₹0.50 से बढ़ जाता है। फिर ऑप्शन का सकारात्मक डेल्टा 50% होगा, क्योंकि स्टॉक मूल्य में ₹1 की वृद्धि की वजह से ऑप्शन प्रीमियम ₹0.50 बढ़ गया है। याद रहे कि डेल्टा को अक्सर एक पूरे नंबर से दर्शाया जाता है, इसलिए अगर किसी ऑप्शन का 50% डेल्टा है, तो इसे अक्सर 50 डेल्टा के रूप में लिखा जाएगा। पुट ऑप्शन के लिए, डेल्टा हमेशा नकारात्मक होगा।

डेल्टा और संभावना

डेल्टा का उपयोग एक कॉल के इन द मनी में एक्सपायर होने की संभावना की प्रॉक्सी के तौर पर भी किया जाता है।  85% के डेल्टा वाले स्टॉक की इन द मनी के तौर पर एक्सपायर होने की संभावना 85% होगी। डेल्टा केवल संभाव्यता (प्रोबेबिलिटी) के लिए एक प्रॉक्सी के रूप में कार्य कर सकता है क्योंकि डेल्टा और एक कॉल के इन-द-मनी बने रहने या ऑउट-ऑफ-द- मनी होने की संभावना, दोनों ऑप्शन के इन द मनी की ओर जाने के साथ बढ़ती रहेंगी। 

डेल्टा, संभाव्यता का प्रत्यक्ष माप नहीं है। कॉल का अधिकांश मूल्य, आंतरिक मूल्य पर निर्भर करेगा, जो कि वह राशि है जो अंतर्निहित कीमत, कॉल के स्ट्राइक मूल्य से ज्यादा होती है। अगर अंतर्निहित संपत्ति ₹1 से बढ़ती है, तो एक कॉल को लगभग उसी राशि से बढ़ाना होगा; वरना आर्बिट्राजर एक शेयर को शॉर्ट सेल कर सकते हैं और कॉल खरीदकर एक जोखिम रहित मुनाफा कमा सकते हैं।

यही कारण है कि आखिरी ट्रेडिंग दिन पर, इन-द-मनी कॉल के लिए डेल्टा को 100% होना चाहिए; फिर भी, एक उच्च संभावना होती है कि ऑप्शन शेष समय में आउट-ऑफ-द-मनी बन सकता है, खासकर अगर अस्थिरता अधिक है, जो अक्सर ऑप्शन के अंतिम व्यापारिक दिन (ट्रेडिंग-डे) पर होता है, इसलिए कॉल के इन द मनी रहने की संभावना 100% से काफी कम होती है।

गामा के बारे में महत्वपूर्ण बातें

गामा अंतर्निहित की कीमत में प्रत्येक यूनिट परिवर्तन के लिए डेल्टा में परिवर्तन है। जैसे-जैसे ऑप्शन की एक्सपायरी का समय घटता है, डेल्टा बढ़ता है, और वैसे-वैसे ही इसका आंतरिक मूल्य भी बढ़ता जाता है। इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरण में, जैसे-जैसे पुट का आंतरिक मूल्य बढ़ता गया और एक्सपायरी का समय करीब आता गया, पुट का डेल्टा लगभग -1 तक घटता गया, जहां स्टॉक की कीमत में प्रत्येक ₹1 की गिरावट ने पुट के प्रत्येक शेयर की कीमत को ₹1 से बढ़ा दिया। यह रणनीति सिर्फ तब ही काम नहीं करेगी अगर स्टॉक में एक्सपायर होने तक कोई भी हलचल ना हुई हो- तो आप पुट के लिए भुगतान किए गए प्रीमियम को खो देंगे, लेकिन कम से कम आपका नुकसान ₹400 और कमीशन तक ही सीमित है।

निष्कर्ष

 डेल्टा और गामा के बीच संबंध

  • गामा में बदलाव पूर्वानुमानित तरीकों से होता है। जैसे- जैसे एक ऑप्शन और इन-द-मनी होता जाता है, डेल्टा तब तक बढ़ता जाएगा जब तक यह अंतर्निहित की कीमत को मैच ना करले; हालाँकि, डेल्टा कभी भी 1 से अधिक या -1 से कम नहीं हो सकता है। जब डेल्टा 1 या -1 के करीब होता है, तो गामा शून्य के आसपास होता है, क्योंकि डेल्टा अंतर्निहित की कीमत के साथ ज्यादा नहीं बदलता है।
  • जब एक ऑप्शन एट-द-मनी होता है तब गामा और डेल्टा सबसे अधिक होते हैं, यानी जब स्ट्राइक प्राइस अंतर्निहित की कीमत के बराबर होती है। डेल्टा में परिवर्तन एट-द-मनी ऑप्शन के लिए सबसे ज्यादा होता है, जैसे-जैसे ऑप्शन इन-द-मनी या आउट-ऑफ-द-मनी की ओर बढ़ता जाता है, डेल्टा घटता जाता है। 
  • ऑप्शन के और ऑउट-ऑफ-द-मनी होने के साथ  गामा और डेल्टा दोनों शून्य हो जाते हैं।

अब तक आपने पढ़ा

  • ऑप्शन मूल्य के विश्लेषण के लिए सबसे लोकप्रिय मॉडल ब्लैक-स्कोल्स-मर्टन मॉडल है।
  • पहला ऑप्शन ग्रीक, डेल्टा, ऑप्शन मूल्य का एक डेरिवेटिव है और इसलिए इसे फर्स्ट ऑर्डर डेरिवेटिव के रूप में जाना जाता है।
  • गामा डेल्टा का डेरिवेटिव है, और इसलिए इसे सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव के रूप में जाना जाता है।
  • यह अंतर्निहित मूल्य में प्रत्येक 1 पॉइंट के बदलाव के लिए डेल्टा में परिवर्तन की दर है।
  • डेल्टा रेशियो को अंतर्निहित में प्रत्येक डॉलर के परिवर्तन के लिए ऑप्शन प्रीमियम में प्रतिशत परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है।
  • डेल्टा का उपयोग एक कॉल की इन द मनी में एक्सपायर होने की संभावना की प्रॉक्सी के तौर पर भी किया जाता है।  
  • डेल्टा, संभाव्यता का प्रत्यक्ष माप नहीं है।
  • गामा अंतर्निहित की कीमत में प्रत्येक यूनिट के परिवर्तन के लिए डेल्टा में परिवर्तन है।
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